３次関数のグラフ

問題．３次関数$f\left(x\right)=x^3-12x$のグラフをかけ．

関数$f\left(x\right)=x^3-12x$の導関数$f^{\prime }\left(x\right)$は $$f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-12=3(x^2-4)=3(x+2)(x-2)$$ ここで、$f^{\prime }\left(x\right)=0$ の解は、$x=\pm 2$

さらに、$f^{\prime \prime }\left(x\right)=6x$ だから、増減表は

ここで、変曲点は$(0,f(0\left)\right)=(0,0)$、極大値$f(-2)=16$、極小値$f\left(2\right)=-16$

x軸との交点は、$f\left(x\right)=x(x^2-12)=0$の解で、$x=-2\sqrt{3},0,2\sqrt{3}$

よって、関数$f\left(x\right)=x^3-12x$のグラフは次のようになる。